東大理三合格講師が医学部合格へ導く数学の個別指導

医学部合格へ導く数学の個別指導

医学部に合格するためには、国公立でも私大でも配点が高く、本番での得点差がつきやすい数学を得意科目にすることが合格可能性を大きく高めることは事実です。

しかしながら、数学を得意科目にする、数学で確実に安定して高得点を獲得する実力をつけるのは一般的な予備校さんや塾さんの指導では非常に難しいのです。

その理由は、数学を得意科目にするために必要なのは、明確な思考と論理を確立することなのですが、この部分について、 一般的には出来る人の「感覚」として語られたり、実際に受験数学で高得点をとっていない人が指導に当たっていることも非常に多く、 的確なものを受験生が得られない状況にあるからです。

数学を得意科目にする、数学で安定した高得点を獲得するための指導、個別指導とはどういったものなのか、 そしてそれがなぜ世の中にはほとんど存在せずに一部の人しか得られていないのかについてもこのコンテンツを読むことで実感していただければと思います。

数学の個別指導の実際の質問回答

注意1
実際に受講生からいただくご質問には教科書、問題集、参考書、過去問集の該当の問題の全文の画像がありますが、ここでは割愛させていただきます。

注意２
ここに掲載する回答は、毎日受講生から頂く多くのご質問に対するごくごく一部をご紹介するものです。 すなわち、1人の受講生が1日に数問～10問程度の質問、１日トータルで百～数百問、1か月で数千～数万問、１年で数万～数十万問、数年で数十万～数百万問という膨大な数の質問回答の中からランダムに1問ずつ取り上げて掲載するものです。

図形と方程式

受講生の質問

「x^2+y^2<a^2…①　を満たす任意の実数x、yに対して、|x+y|+|x-y|<b…②　が成り立つとき、正の定数a、bの満たす条件を求めよ。」 という問題についてなのですが、解答の方針が立てられませんでした。

東大理三合格講師 正門の回答

ポイントは「x^2+y^2<a^2...①を満たす任意の実数x,yに対して、|x+y|+|x-y|<b...②が成り立つ」 という条件を座標平面上に落とし込んで考えることです。

まずは問題文を噛み砕いて考えて見ましょう。 x^2+y^2<a^2...①を満たす任意の実数x,yは座標平面上では何に対応しているかというと、 x^2+y^2<a^2の内部の点全体です。

そして|x+y|+|x-y|<b...②が示す領域を図示すると下の図の様になります。

以上を合わせて考えると、問題文の条件は「①が示す円の内部の点全てが②の領域にあればいい」という条件に言い換えられます。

これをさらに言い換えると、「①の円が②の領域の中にある。」...(条件A)ということになり、これがぎりぎり成り立つのは下の図の様になるとき、つまりb/2=aとなるときであり、bがそれ以上大きくなる分には②の正方形が大きくなるだけで条件Aは成り立つので、求めるべきa,bの条件はb/2>=a、つまりb>=2aという風になります。

条件を次々に言い換えていって考えやすい条件、単純な条件にする、ということはどの問題でも最も大切な考え方の一つになります。特に方程式⇄座標の置き換えは、非常によく使う考え方なので、方程式が出てきたら座標ではどうなるのか考え、逆に座標平面でグラフが出てきたら、方程式で攻められないかと考えてみることは、常に意識するといいと思います。

立体の体積問題

受講生の質問

y=x-1とy=x^2-2x-1で挟まれた部分を底面とし、x軸に垂直な断面が常に正三角形であるような立体の体積を求めよ。

東大理三合格講師 安藤の回答

体積の問題は、「適切な軸に沿って、その軸に垂直な平面で切る　＋　断面での面積を求めて、それを積分する」という2つの手順を踏めばOKです。この問題でも、まずは「適切な軸」を探すところから始めましょう。

「適切」というのは、後の手順が楽になるような、という意味です。つまり、断面がわかりやすかったり、面積を求めやすかったりするような軸のことです。例えば回転体の体積では、回転軸を「適切な軸」に設定すれば、断面が必ず円になり、簡単な計算で断面積を求められます。この問題での「適切な軸」は、x軸に当たります。なぜならx軸に垂直な平面で立体を切ると、断面が正三角形になって容易に面積を求められるからです。 あとはこの断面積をx軸に沿って（＝xで）積分すると体積が出てきます。

非回転体の体積

受講生の質問

Xyz空間において、動点P(0,0,(1-s)**2),Q(s**2,1,0)がある。変数sが|s|≦1をみたす実数の範囲を動く時、線分PQが動いてできる局面をSとし、 Sと平面x=yが囲む部分の体積をVとする。Vの値を求めよ。この問題の図が知覚的に捉えられませんでした。

あと、回転体の場合は回転軸と垂直に切るのが定石ですが、非回転体の場合はどの軸に垂直に切るかは試すしかないのでしょうか？

東大理三合格講師 黒木の回答

まず今回の問題を最初から説明していくのですが、sという字を用いて直線を表してこれとx=y平面との囲まれる体積を求めよとの問題です。具体的な直線の移動などは分かりませんが、わかりやすい数値s=-1,0,1などを代入してなんとなくの形だけはわからないか試してみましょう。

Sを動かしてなんとなく直線の動き方を考えるとx=yという平面が基準となっていたことが分かります。最初に問題を読んだときはx=yという珍しい切り方をしていたので一瞬ヒヤッとしますがこの平面で切っていた理由が分かりました。

ただしここからが問題で具体的な図の形は見えないので、わかりやすい平面で切って平面図形として考えようという方針に持っていきます。

どの平面で切れば良いかについては後述しますが今回の問題ではy=tという平面で切ると計算がしやすくなります。この平面でsの値を変化させていくと曲線が描けます。あとはこの平面において囲まれている部分がどこかを見つけてあげて、底の部分の面積を求め、tを動かして積分すればいいといういつもの方針になります。

では囲まれている部分がどこかという話ですが今回はx=yと囲まれている部分をそもそも考えていて、y=tで切っているのでx=tで囲まれている部分を求めればいいです。

最後に切る平面の選び方ですが、切った平面と動く直線との交点の座標が表しやすいかどうかで決めます。交点の座標をベクトルを使って表すと計算がしやすく、その計算が簡単になるような切り方を選んで上げましょう。もちろんどの平面で切っても最終的な計算は合うはずではありますが、計算の複雑さや計算量には大きな差が出ます。

連続した整数の積のシグマ

受講生の質問

「Σk(k+1)を求める途中でk(k+1)=1/3{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}という式が出てきたのがよくわからない」

東大理三合格講師 江尻の回答

実はこのやり方はけっこう有名なので、使えたほうがいいと思います。実際、k(k+1)=k^2+kと展開してk^2のシグマとkのシグマを求めて足すより計算量は少ないので実践的に見ても優れたやり方です。

これは、シグマの中身を「１個先のやつから１個前のやつを引く」形にするという解法の１形態です。たとえば、Σ[k=1~n](1/(k+1)-1/k)という和を具体的に書き下してみると「(1/(n+1)-1/n)+(1/n-1/(n-1))+…….+(1/3-1/2)+(1/2-1/1)」となり、間が全て打ち消し合い、最初と最後の「1/(n+1)-1/1」だけ残るというやつです。

今回の変形も、「１個先のやつから１個前のやつを引く」形になっていますよね。なので答えがラクに（少ない計算で）求まるというわけです。

一般的に、いくつかの連続した整数の積（今回でいうと２つ）がシグマの中身に来ているときは、それらのなかで１番大きい数より１大きい数をつけくわえたものから１番小さい数より１小さい数を付け加えたものを引く形に変形すると、シグマの中が「１個先のやつから１個前のやつを引く」形になって、バァーっと間が消えていって最初と最後だけ残るパターンに持ち込めます。

例えば、シグマの中身が(k-1)k(k+1)(k+2)（これは連続する４つの整数の積ですよね）とかだったら、(k-1)k(k+1)(k+2)=1/5・{(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)}と変形でき、間が消えていくパターンに持ち込めます。

逆像法の考え方

受講生の質問

数学の逆像法について質問です。 例えば
aが0≦a≦1の範囲で変化するとき曲線群C： y=x*2＋ax＋a*2の通過する領域を図示せよ。
という問題で、パラメータaに関する二次方程式だから0≦a≦1の範囲に１つだけ解をもつときと 2つ解を持つときの2通りの状況があるけど、 aの実数解が0≦a≦1の範囲に1つある場合と2つある場合の違いがなんなのかよくわかりません。

東大理三合格講師 黒木の回答

逆像法の考え方の難しいところです。 メールで送ってくださった問題を具体的に考えていきます。 「aが0≦a≦1の範囲で変化する時のy=x**2+ax+a**2の動く範囲」というのは 「もし、点(X,Y)がこの領域に入るならば、Y=X**2+aX+a**2という関係をみたす 0≦a≦1のaが少なくとも1つある」ということと同じです。 ⇔「y=x**2+ax+a**2をaについての2次方程式と見た時に0≦a≦1の範囲で少なくとも実数解を一つ持つ」とも言えます。 具体的な点を見てみて、点(1,2)を考えます。

2=1+a+a**2を解くと0≦a≦1のaが一つあるので求める領域の中に点(1,2)はあります。 他の点(-1,1)ではどうなるかというと 1=1-a+a**2を解くと0≦a≦1の範囲に2つ解があって条件を満たすaが存在するので求める領域の中に 点(-1,1)があると言えます。

どちらの場合でも条件は満たすのですがaの範囲にあるaの個数は異なります。 結局、少なくとも一個aが存在すればいいというのが2つの場合を考えている理由です。 下線部の言い換えが重要です。

平面図形

受講生の質問

辺BC,PQは平行
△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点P,Qが存在する
この時、次のことが成り立つ
ただし、③の逆は成り立たない。

①BC∥PQ⇔AB:AP=AC:AQ
②BC∥PQ⇔AP:PB=AQ:QC
③BC∥PQ⇒AP:AB=PQ:BC

教科書等には一般にこのように書かれていますが、 「③の逆は成り立たない」のはなぜですか？

東大理三合格｜東大医学部医学科講師　槇の回答

図をまず見てください。

AP:AB=PQ:BCが成り立つとき、図のPQについては、確かにPQ//BCが成り立ちます。

しかし、AC上でPQ=PQ'　となるような別の点Q'を取ることが出来るのです。
この場合、AP:AB=PQ':BC が成り立っていながら、PQ'//BC は成り立っていませんね。

このように反例があるため、逆は成り立たないのです。

極限

受講生の質問

√(x^2 + x) + xのx→-∞の極限を求める際、x=-tと置き換えないで計算すると、
=(x^2 + x - x^2) / [√(x^2 + x) - x ]
=x / [√(x^2 + x) - x ]
= 1 /[√(1 + 1/x) - 1 ]
となり、極限が1/(1-1)=1/0になってしまい、置き換えた場合と解答(-1/2)と異なってしまいます。なぜそうなるのかわかりません。

東大理二「首席」合格｜東大医学部医学科講師　大久保の回答

非常にいい質問であり、とても多くの受験生が間違えるところであります。 以上の式変形をしていただいたのだと思いますが、どこが誤りなのでしょうか。

√(x^2 + x) + x
=(x^2 + x - x^2) / [√(x^2 + x) - x ]
=x / [√(x^2 + x) - x ]
ここまでは何の問題もありません。問題はこの後
= 1 /[√(1 + 1/x) - 1 ]
としたところです。ここが誤りです。

x / [√(x^2 + x) - x ]の分母をxで割って、
1 / [√(x^2 + x) / x -1]とし、√の中に1/xを入れて1/x^2として
1 / [√[(x^2 + x)/x^2] -1]
としたのだと思いますが、これが誤っているところです。
今、x→-∞を考えているので、x<0です。負の数は√の中に入れることができません。

x / [√(x^2 + x) - x ]
= 1 / [√(x^2 + x) / x -1] ここまではいいですが、このあとxを√の中に入れる際にそのままでは入れることができません。
そこで、xが負の時-xなら正ですので、-xを中に入れます。
√(x^2 + x) / xにおいて、x=-(-x)として、この(-x)を中に入れます。
√(x^2 + x) / -(-x)
=- √(x^2 + x) / (-x)
=- √[(x^2 + x)/(-x)^2]
=- √(1+1/x)
となります。

このように√の中に負の数を入れる時には、そのままでは入れられないというのをよく忘れます。
私たちは負の数の操作に想像以上に慣れていません。
このようなミスを防ぐために、原則的にx→-∞の時にはもうt=-xと置き換えてしまうのが安全だと言われています。

確率　排反と独立

受講生の質問

確率の分野なのですが、排反と独立の違いが明確にわからないです。
明確な違いを教えてください。

東大理三合格｜東大医学部医学科講師　安藤の回答

排反と独立は、確率を求めるときにキーになる二つの考えですね。この二つは、実際全く異なる概念です。定義と具体例を確認しましょう。

排反というのは、いくつかの事象が同時には起こらないことを言います。AとBが排反なら、AかつBが起こる確率は0です。例えばコインを投げて表がでる事象と裏が出る事象は排反です。

一方で、独立というのは、高校数学だと多くは「試行」に対して使われてそれぞれの試行が関係しないこと、互いに試行の結果に影響を及ぼさないことをいいます。試行aとbが独立と言われたら、aの結果がどうであろうと、bの結果には影響しません。

例えばガチャポンで1回目に出たものが低レアの景品だった場合、2回目は高レアの景品が出る確率が高まります(分母が減るからです)。この場合は1回目と2回目は独立ではありません。一方で、ソシャゲ（ソーシャルゲーム）の電子ガチャの場合は、何度回しても高レアの排出率は一定ですから、この場合1回目と2回目は独立な試行ということになります。

確率を求める文脈では割と同格に扱われることが多いので混乱してしまうのかも知れません。ですが定義を確認すれば、上のようにかなり違う概念なんだと分かってもらえると思います。実際に問題を解くときにも、どちらを使えばいいか分からなくなったら定義に戻って考えるといいでしょう。

次数がわからない関数を含む恒等式の場合分け

受講生の質問

[問題]

n次式であるｆ（x）が
(ｘ+1)ｆ '(ｘ)-3ｆ(ｘ)+2ｘ-1=0
ｆ(0)=1
という関係を満たしているとき、ｎとｆ(ｘ)をそれぞれ求めよ。

この問題を解くとき、ｎと１の大小で場合分けをする必要があります。
では、なぜその場合分けをしなければならないか説明することができますか？

[受講生の実際の質問]
nと1の大小で場合分けをするというのが理解できていません。

東大理三合格｜東大医学部医学科講師　槇の回答

一般に、n次式を微分するとn-1次式になります。よってf(x)がn次式ならf '(x)はn-1次式です。 これは大丈夫ですね。

本問のように次数のはっきりしない恒等式の問題では、最高次数の項を比較するのが常套手段です。
(x+1)は1次式ですから、(x+1)f'(x) は1+(n-1)=n次式、-3f(x)はn次式、2x-1は1次式です。

したがってn≧2であれば、最高次数であるn次の項をもつのは(x+1)f'(x) と-3f(x) ですから、この２項について、それを展開した中でのn次の項を比較すれば済みます。

しかしn=1のとき、最高次数である1次の項をもつのは、(x+1)f'(x) , -3f(x) のほかに2x-1も含まれます。 よって比較すべき項が増えます。

このように、n=1とそれ以外の時で、最高次数の項を比較する際考慮する項が異なるので、場合分けをしなければいけません。

因数分解

受講生の質問

2cos2x + 8sinx -5 ≦0
を因数分解したあと
(2sinx-3)(2sinx-1)≧0
からわからなくなってしまいました。

東大理二「首席」合格｜東大医学部医学科講師　大久保の回答

非常に良い質問です。
少し戻って、
(2sinx-3)(2sinx-1)≧0
から説明しましょう。ここから実は2つの考え方があります。

1つ目は以下のようなものです。
2sinx-3の符号について考えて見ましょう。
sinxはどんなに頑張っても最大値1までしかいけません。ということは、
2sinx-3の最大値は-1ということです。つまり、2sinxは常に負です。
よって、(2sinx-3)(2sinx-1)≧0
というのは、常に2sinx-3<0であることを考えると両辺を2sinx-3で割ることができて(0ではない、かつ符号がわかってるので不等号の向きの変化がわかるため)
2sinx-1≦0となります。
あとはここからsinx≦1/2として解いていけば良いです。

さて、2つ目は○○さんのやっていただいたように、
(2sinx-3)(2sinx-1)≧0から
sinx≦1/2 または sinx≧3/2
とするものです。(この「または」が地味に大事です。意識していましたでしょうか？)
sinx≦1/2を満たすxは0≦x≦π/6または5π/6≦x<2πで良いと思います。
sinx≧3/2をみたすxはどうでしょうか？
上述の通り、sinxはどんなに頑張っても最大値は1までしかいけません。よって、sinx≧3/2をみたすxは存在しない、というのが正しいです。

数列の一般項

受講生の質問

{an},{bn}の一般項をそれぞれan=2^n, bn=3n+2とする。{an}の項のうち、{bn}の項を小さい方が順に並べて得られる数列{cn}の一般項を求めよ。 という問題で、模範解答が途中からわからなくなりました(実際にはより具体的にその箇所が指摘されています)。

東大理二「首席」合格｜東大医学部医学科）講師　大久保の回答

2つの数列 an = 2^n bn = 3n+2
のうち、一致している項のみを取り出すと一般項はどう書けるかという問題です。

この場合は、まずanの何項目とbnの何項目が一致しているかを調べる必要があります。 それがわかれば、あとはそれをanかbnのどちらかの式に代入すればcnが求まります。

よって、今anのl項目がbnのm項目に等しいとしてlとmの関係を求めます。
al = bmですから、
2^l = 3m+2です。
さて、これをこのまま解こうとすると左辺は指数関数、右辺は1次式で解くのが難しいです。 そこで、直接求めるのが難しい場合は実際の数から予想してから方針を立てるという鉄則に従いましょう。

少しanとbnの項を書き出してみましょう。
an = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
bn =5,8,11,14,17,20,23…,32…

よって、かなり雑ではありますが、8,32が一致してますのでもしかしたらanの項が1個おきに一致しているのではと思います。 そこで、実際に128も一致しているかをみると、 128=3n+2 を解けばn=42とできますので、bnも48項目に128があり、一致してます。

いよいよanの一個おき(初項は8)にanとbnが一致していそうなので、これをcnと予想します。
cn=8,32,128,…つまり、cnは初項は8、公比は4の等比数列と予想できます。
あとは、これを証明するだけです。

i) 初項8は一致している。
ii) anのl項目とbnのm項目が一致していると仮定した時、anのl+2項目もbnのどこかに一致していることを示す。
al = bmですから、
2^l = 3m+2です。この時、
al+2
= 2^(l+2)
= 4× 2^l
= 4× (3m+2) (仮定を使った)
= 12m + 8
= 3(4m+2) +2
よってal+2 = b4m+2なので、確かに一致する項がある。
ゆえに、anのl項目とbnのm項目が一致していると仮定した時、anのl+2項目もbnのどこかに一致していることが示された。

i)ii)より、数学的帰納法からcnは初項8、anの2つおきの項からなることが求まり、cnは初項は8、公比は4の等比数列とわかったので一般項は
8×4(n-1)
=2^(2n+1)

このように、模範解答には予想して数学的帰納法というのがはっきり書いてなかったので分かりにくかったのだと思います。 実際には上記のような思考過程を経ています。

漸近線の変化

受講生の質問

190、192の画像についてです。これらの問題は正の無限大と負の無限大によって、漸近線が変化する問題ですが、この手の曲線であることの判別は、実際に極限を取らないとわからないものなのでしょうか？
※実際の受講生の質問には問題集の問題の画像が添付されていますがここでは割愛させていただきます。

東大理三合格｜東大医学部医学科講師　槇の回答

大体の推測をすることはできます。要は、具体的にxに「大きい値」を代入してみて、定数を無視すればどうなるかを考えれば良いのです。

190なら、x=100などを代入してみると、√の中身は、-1などは無視できるので√x^2=x となりますよね。ということはxが十分大きければ2x+x=3xに近づきます。

負ならどうかというと、x=-100 にすれば√の中身は、やはり-1は無視出来て、√(-100)^2=100=-x となります。
よって2x-x=x に近くなるわけです。

常にこのように推測できるわけではないですが、√の中身にx^2が入っている今回のような関数は、上の方法で推測できる場合が多いと思います。

複接線

受講生の質問

204の画像についてです。ここでは複接線というものが取り上げられていますが、これは入試でよく取り上げられるのでしょうか？また対処の仕方としては、どういったものになるのでしょうか？
※実際の受講生の質問には問題集の問題の画像が添付されていますがここでは割愛させていただきます。

東大理三合格｜東大医学部医学科講師　槇の回答

複接線という言葉自体はどうでも良いですが、たまに取り上げられることはありますね。 といっても「２点で接する接線の方程式は」とか、しっかり明記されると思います。

今回のような問題で「実は複接線があるから本数≠接点の個数でした～」みたいな落とし穴を作るのは、 難関大学の中でさらに難しい問題で、可能性がある程度の話です。

なのであまり心配しなくても良いですが、グラフの概形を考えられるなら、 一度確認してみるとより盤石ではあります。

積分 面積の最小

受講生の質問

曲線 C : y = |x(x-1)|　と　直線 l : y = mxがある。C と l とで囲まれる部分の面積 S を最小とする m の値を求めよ。ただし、C と l は異なる３つの共有点を持つ。
という問題ですが、解説にある一連の式変形が少しこんがらがってしまいます。
この式変形はどうなっているのでしょうか。

東大理三合格｜東大医学部医学科）講師　深川の回答

添付図を参考にしてください。落ち着いて考えましょう。
計算を楽にする工夫です。あと少しで積分範囲が全部繋がって綺麗になるのに…と思っているとこの式変形を思いつきます。

複素数　虚数ωの範囲

受講生の質問

「数学２Bの虚数ωの範囲を、学校では「入試にはほとんどでないからやらなくていい」
と言われたのですが、本当にやらなくていいのでしょうか？」

このコンテンツをご覧いただいている皆さんに質問です

この質問ですが、みなさんが今受けている指導や質問できる人に質問した場合、的確な回答が得られますか？
またみなさんも他の科目や分野でこのような疑問を持ったことはないですか？

安易に語られているゴールから逆算するとか志望校の過去問を見ればわかるというような指導、アドバイスではこの問題には的確に回答できません。
的確なものは絶対に得られません。

東大理三合格｜東大医学部医学科）講師　槇の回答

ωについては、説明なしで出題されることは無いと思います。
しかし「x^3=1の虚数解をωとする」といった説明があって、それに関する 出題がされるというのは大いにありえます。

また、ここでポイントとなることは、ωに限らず他の複素数でも有用です。 「次数下げ」というテクニックになりますが、応用できますか。

例えば下の問題を解いてみてください。
a= - 1+√2 i とするとき、a^4 の値は？

ヒント：まともに計算しようとすると大変ですね。
そこで、「aが解となる２次方程式」を求めてみてください。

そうすれば28(2)と同じように次数を下げることが出来ます。

数学を得意科目にできる個別指導とは

実際の合格の天使受講生の実際の質問回答をご覧いただいてきましたが、 このような回答を得られるかどうかだけでも今後の勉強や受験対策に相当な差がつくことはお分かりいただけると思います。

みなさんもこのような部分で疑問を持ち、まだ基礎標準知識の習得が済んでおらず過去問分析が自力でできない段階では、 質問できる人にしっかり聞いてください。

数学の個別指導に隠された真実

ここではっきりと真実をお伝えしておきますが、大学入試において何をどこまで得ておけばいいか、考えておけばいいのかという線引きを明確にできるのは、またそれらを踏まえた的確な戦略や勉強法、勉強計画を指導できるのは以下の条件を満たす場合のみです。

という3段階のレベルをすべてクリアーしている実力を有している場合のみです。
もちろん自称ではなくしっかりとした受験結果に実証されていることが大事ということも忘れないでください。

あなたが得ている指導は結果に実証されていますか？

戦略や勉強法や計画だけ語ることは、拝借して行けばいくらでも圧倒的実力者と同じことを語れます。
しかしそれは決して的を射た的確なものではないことは本来説明するまでもないことです。

医学部の数学や物理、化学、生物など理系学部の具体的な問題について基礎理論から解説・解答できないにもかかわらず、 また自身が実際にその次元での合格という結果を出していないにもかかわらず、
戦略や勉強法、勉強計画だけが優れたものになることなど絶対にありえません。

自身の受験結果に実証されている高い実力がある指導者から指導を得られるか否かだけで、 実際の勉強効率、成績の伸び、さらには狭き門である医学部の合否まで決まっている側面があるのも事実です。

以上、受験の真実を本音をお伝えしました。
これをご覧いただいている皆さんは、本気になって合格へ向かってください。

数学の成績が伸びない・勉強の効率が上がらない核心的な理由

みなさんはやる気の問題や勉強効率の問題に悩まされたり、 塾や予備校で一般的な問題解説講義を受けても自分のわからないところを解決できない、 深く理解できない、ということを感じたことはありませんか？ これは多くの受験生が悩まされたり感じていることです。

でも、

■やる気や勉強効率を大きく阻害する「わからない」「できない」ところを日々解決していけるとしたら
■しかも、自分のわからない部分を圧倒的実力者が丁寧に説明してくれて理解していけるとしたら
■さらにそれが、受験数学を高いレベルで極めた人間のみがなしうる、他の問題にも通用する思考を伴った説明・解説とともに入試に必要なレベルで過不足なく得ていけるとしたら
■さらにさらに、受験数学のすべての問題を解きうる講師陣から、大学入試においてはここまで理解していれば大丈夫ですという明確な区切りとともに得ていけたら

あなたがやる気の問題に悩まされることは極限まで減ります。
→なぜなら受験勉強のやる気を阻害する最も大きな要因は「わからない」「できない」からです。

あなたが勉強効率に悩まされることはなくなります。
→なぜならこれ以上の効率を得ている受験生は日本全国にいないからです。

あなたの実力は確実に伸びます。
→なぜならこれ以上確実かつ効率的に実力を伸ばせる方法など存在しないからです。

当塾が、圧倒的実力講師陣を指導に当たらせている本当の効果や威力を体感してください。
みなさんが毎日の勉強でわからない問題やあいまいな部分をこのように解決していけるとしたらあなたの実力が伸びない原因はありますか？

以上に掲載してきた質問回答は「ごくごく一部」の質問と回答であり、1人の受講生がたった1週間の質問回答で得られるものよりも少ない量です。当塾の受講生はここに掲載している回答を数学に限らず全教科、 1回に～10問程度、フリーコースの受講生は週に30～100問という量で得ていっているのです。これで実力が伸びないはずがないことはお分かりいただけると思います。

「受験生として実際に具体的に何を指導から得ることが出来るか、指導側がどの次元・レベルで実際何を与えているか」 このことは事実と異なるものを安易に語る人間がいる指導実績・合格実績や口先だけの仮装の実力や指導内容と異なり、決して操作することが出来ない事実、ごまかすことが出来ない事実です。

当塾が合格実績として掲載しているものは、受験戦略や勉強法や勉強計画だけを指導した受講生を一切含んでいません。 各教科の質問回答を継続的に数か月以上行った受講生しか合格実績として公表していません。 ですので一般の指導機関が出している合格実績に引き直せば当塾の合格実績は更なる驚異的な数字になります。

以上が受講生の実力が圧倒的に伸びる合格の天使の指導の秘密の一部であり、 徹底した責任指導・個別指導であるがゆえに少数受講生でありながら医学部医学科へ驚異的合格率を叩き出している事実と証拠です。

受講の有無にかかわらず、数学を効率的にマスターするために問題集や参考書にどう取り組んでいくべきなのか、 何を得ていくべきなのかをこのページの具体例からしっかりと学んでください。 医学部に合格するためには数学で高得点を獲得することが必須になります。